Intersección de planos.
La intersección de dos planos P y Q, genera una recta I. El método
general para calcular la intersección entre dos planos P y Q consiste en
calcular las rectas intersección R, S, T y F de estos con otros dos
auxiliares W y X de fácil trazado. Unimos seguidamente los puntos de
intersección A y B de las rectas intersección pertenecientes a un mismo
plano auxiliar y obtenemos de este modo la recta intersección I buscada.
Fig. 47
Intersección de dos planos oblicuos.
Dados dos planos oblicuos P y Q, aplicaremos el método general
comentado siendo en este caso los planos auxiliares a tomar X y W los de
proyección vertical y horizontal y las rectas intersección de los
auxiliares con los planos dados sus trazas correspondientes.
Así pues, la intersección de las trazas homónimas o correspondientes
al plano vertical y la intersección de las trazas horizontales de ambos
planos determinarán los puntos A y B anteriormente mencionados y que
unidos definen como sabemos a la recta intersección I entre P y Q
buscada.
Obsérvese que además, A y B se corresponden con las trazas vertical v’ y horizontal h de la recta en cuestión. Fig. 48
Intersección de dos planos oblicuos.
Intersección de plano oblicuo p con plano horizontal Q.
La recta intersección resultante a de pertenecer al plano horizontal Q
dado luego será horizontal. También a de pertenecer al plano oblicuo P
por lo que será una horizontal de P. Como sabemos, los planos y las
rectas horizontales no presentan traza horizontal pues son paralelos al
plano horizontal de proyección.
Empleamos el mismo método que en el ejercicio anterior y obtenemos la
traza vertical v’ de la recta solución en la intersección de P’ y Q’,
no podemos sin embargo operar de igual modo para calcular la traza
horizontal de la recta horizontal solución pues Q no presenta traza
horizontal pero sabemos que la recta horizontal, por pertenecer a P
tiene que ser paralela a la traza horizontal de este. Trazamos por tanto
una recta horizontal de P que pase por v’. La proyección vertical de I,
i’ coincidirá con la traza vertical de Q, Q’ pues este es proyectante
vertical. Fig. 49.
Intersección de plano oblicuo p con plano horizontal Q.
Intersección de plano oblicuo P, con plano frontal Q.
Este caso es idéntico al anterior, está resuelto en la Figura 50.
Intersección de plano oblicuo con plano frontal y con plano proyectante vertical.
Intersección de un plano oblicuo P con un plano proyectante vertical Q.
El trazado es idéntico al empleado para calcular la intersección
entre dos planos oblicuos. Observaremos que la proyección vertical de I,
i’, coincide con la traza vertical de Q por ser este un plano
proyectante vertical. Fig. 51
Intersección de plano oblicuo con plano proyectante horizontal.
Esta intersección es similar a la anterior, resultando coincidentes
en proyección diédrica la proyección horizontal i y la traza horizontal
de Q, por ser este plano proyectante horizontal. Fig.52.
Intersección de plano oblicuo con plano proyectante horizontal e intersección de proyectante horizontal y vertical entre sí.
Intersección de planos proyectantes entre sí.
Intersección de planos proyectantes horizontal y vertical.
Se emplea el método general estudiado. Donde se cortan las trazas
homólogas de los planos, tenemos las trazas de la recta intersección.
Las proyecciones de la recta son coincidentes en este caso con las
trazas de los planos por ser estos proyectantes. Fig.53
Intersección de proyectantes verticales entre sí.
La traza vertical de la recta v’ está en la intersección de las
trazas verticales de los planos. La recta resultante será de punta
siendo su proyección horizontal i perpendicular a la línea de tierra. La
proyección vertical i’ coincide con v’. Fig. 54
Intersección de proyectantes verticales entre sí.
Intersección de proyectantes horizontales entre sí.
Este caso es similar al anterior. La proyección vertical de la recta
será perpendicular ahora a la línea de tierra por ser I una recta
vertical y su proyección horizontal será un punto coincidente con la
traza horizontal h por esta misma razón. Fig.55
Intersección de un plano oblicuo con uno paralelo a LT.
Se procede según el método habitual y obtenemos v’ y h, trazas de la recta buscada. Fig.56
Intersección de proyectantes horizontales entre sí. Intersección de plano oblicuo con paralelo a la línea de tierra.
Intersección de planos paralelos a LT.
La intersección resultante será una recta paralela a la línea de
tierra. No se puede proceder del modo habitual pues las trazas homónimas
de los planos son paralelas entre sí. Podemos resolver este ejercicio
por dos métodos:
1. Auxiliándonos con un plano oblicuo.
Si trazamos un tercer plano oblicuo O y calculamos su intersección
con los planos P y Q dados, obtenemos dos rectas intersección r y s una
con cada plano, estas se cortarán en X punto por el que pasa la recta I
que como sabemos a de ser paralela a LT. Fig. 57
2. Mediante un plano de perfil.
Trazamos un plano de perfil O y abatimos las trazas con este Q” y P”
sobre el plano vertical, ambas se cortarán en el punto X representado
por su tercera proyección x” y que estará contenido en la recta
solución. Obtenemos las proyecciones x y x’ del punto X y pasamos por
ellas las proyecciones i’ y i de la recta solución, paralelas a LT. Fig.
58
Intersección de planos paralelos a la línea de tierra.
Intersección de un plano con los planos bisectores.
Por tener los planos bisectores sus trazas confundidas con LT, no
podemos proceder según el método habitual. Sabemos que todos los puntos
pertenecientes a un bisector equidistan de los planos de proyección, es
decir, tienen igual cota que alejamiento.
Para resolver este problema dibujaremos las proyecciones de un punto A
perteneciente al plano bisector Q, primer bisector en el ejemplo y al
propio plano P dado auxiliándonos de una recta del plano, en el ejemplo
horizontal. A es un punto de la recta intersección solución pues
pertenece a ambos planos (pertenece a P por estar situado en una recta
horizontal del plano P y al bisector por tener igual cota que
alejamiento), calculamos otro punto B por el mismo procedimiento
quedando determinada la recta. Para mayor simplicidad, el punto B tomado
es el de concurrencia sobre la línea de tierra de las trazas del plano
P. B pertenece a P y al bisector. Fig. 59.
Intersección de un plano oblicuo con un plano plano bisector.
Intersección de planos cuando sus trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.
Las trazas, rectas intersección de los planos dados con los planos de
proyección, se cortan fuera de los límites del dibujo de modo que no
podemos operar como viene siendo habitual. Para resolver el problema
empleamos el método general expuesto al comienzo del tema de
intersecciones, tomando como auxiliares planos que no sean los de
proyección como hasta ahora sino otros de sencillo trazado, generalmente
horizontales o frontales. Pueden darse tres casos generales:
1. Intersección de planos cuando sus trazas verticales se cortan fuera de los límites del dibujo.
Tomamos como plano auxiliar un plano horizontal O, este corta a los
dos dados P y Q en las rectas R y S siendo la intersección de ambas
entre sí el punto A. Las trazas horizontales de los planos dados se
cortan en el punto H. Uniendo los puntos H y A obtenemos la recta
intersección buscada I. Fig. 60 En la figura 61, se resuelve el problema
en sistema diédrico, las rectas R y S por pertenecer al plano
horizontal O, son rectas horizontales de los planos Q y P
respectivamente. La recta definida por las proyecciones de los puntos H y
A (a’, a y h’, h) es la recta solución.
Intersección de planos cuando sus trazas verticales se cortan fuera de los límites del dibujo.
2. Intersección de planos cuando sus trazas horizontales se cortan fuera de los límites del dibujo.
El ejercicio se resuelve en la figura 62 de igual modo que en el
ejercicio precedente. Tomamos como plano auxiliar en este caso un plano
frontal.
Intersección
de planos cuando sus trazas horizontales se cortan fuera de los límites
del dibujo, y cuando tanto trazas verticales como horizontales se
cortan fuera de os límites del dibujo.
3. Intersección de planos cuando sus trazas horizontales y verticales se cortan fuera de los límites del dibujo.
En este caso tomamos dos planos auxiliares que en el ejercicio de la
figura 63 son frontales, estos generan con los planos dados P y Q dos
rectas intersección cada uno, el plano O genera con los planos Q y P las
rectas frontales R y S que se cortan en el punto A. El plano W genera
con los planos Q y P dados las rectas frontales F y T que se cortan en
el punto B. Uniendo las proyecciones diédricas homónimas de los puntos A
y B obtenemos las proyecciones i’ e i de la recta I intersección de P y
Q buscada. Fig 63.
Intersección recta-plano
Intersección recta plano
Intersección de una recta con un plano oblicuo.
La intersección de una recta R y un plano Q es un punto A. Para saber
dónde está situado este punto A, hacemos pasar por R, un plano
cualquiera P auxiliar, generalmente proyectante y calculamos la
intersección S de este con el plano dado. El punto de corte de las
rectas S obtenida y R dada, será el punto buscado. Fig. 64. Por ser el
plano auxiliar tomado proyectante horizontal, las proyecciones
horizontales de las rectas R dada, S intersección de los planos Q dado y
auxiliar y el punto de intersección I, están contenidas en su traza
horizontal P. Fig. 65
Intersección de una recta con un plano oblicuo.
Intersección recta con plano que pasa por LT.
Dado el plano Q definido por el punto A en él contenido, para
determinar su intersección con la recta R, trazamos un plano auxiliar F
frontal que pase por A y uno proyectante horizontal P que contenga a R.
El plano frontal F se corta con el plano Q dado generando la recta G
frontal y con el plano P auxiliar la recta T vertical, ambas rectas
pertenecen al plano frontal F y se cortan en el punto B. Uniendo el
punto B hallado con el punto O perteneciente a los planos Q y P
obtenemos la recta S perteneciente al plano P auxiliar y a Q dado. La
recta S hallada, intersección de los planos Q y P y la recta R dada son
coplanarias, ambas pertenecen al plano auxiliar P y se cortan en el
punto X, punto de intersección buscado entre la recta R y el plano Q.
Fig. 66.
El método para calcular puntos de intersección entre una recta y un
plano consiste, como hemos visto, en hacer pasar por la recta un plano
auxiliar que genere una intersección rápida sobre el plano dado, el
punto de corte entre la intersección obtenida y la recta dada es el
punto de intersección de la recta y el plano. Este ejercicio se resuelve
de idéntico modo que el ejercicio anterior, siendo P el plano auxiliar y
S la recta intersección obtenida. Su trazado se complica pues el plano
dado pasa por la línea de tierra teniendo por tanto sus trazas
coincidentes con esta, es por esto por lo que y para calcular la recta
intersección S entre P y Q, tenemos que tomar el plano auxiliar frontal F
y un punto O de la línea de tierra perteneciente a P. (Véase intersección de un plano con el primer bisector en este mismo tema).
Intersección recta con plano que pasa por LT.
Intersección de tres planos.
La intersección de tres planos es un punto cuando los planos
no son paralelos entre sí, un ejemplo lo es el propio ángulo triedro
(ángulo formado por tres planos) formado entre los planos vertical,
horizontal y de perfil del sistema diédrico, se generan tres rectas de
intersección que concurren en un mismo punto, vértice del ángulo. Para
calcular el punto de intersección de tres planos dados calculamos la
recta intersección entre dos de ellos y seguidamente el punto de
intersección de la recta así obtenida con el tercer plano. En el
ejercicio de la figura 67, se calcula la intersección de tres planos
dados P oblicuo, T paralelo a la línea de tierra y Q proyectante
vertical. Para ello calculamos la recta R intersección entre los planos P
y T. Auxiliándonos de un cuarto plano proyectante horizontal O, que
contiene a R y genera la recta intersección S sobre Q, calculamos el
punto de intersección A entre R y Q.
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